圓周率π的計算歷程


圓周率是一個極其馳名的數。從有文字記載的歷史開始,這個數就引進了外行人和學者們的興趣。作為一個非常重要的常數,圓周率最早是出於解決有關圓的計算問題。僅憑這一點,求出它的儘量準確的近似值,就是一個極其迫切的問題了。事實也是如此,幾千年來作為數學家們的奮鬥目標,古今中外一代一代的數學家為此獻出了自己的智慧和勞動。回顧歷史,人類對 π 的認識過程,反映了數學和計算技術發展情形的一個側面。 π 的研究,在一定程度上反映這個地區或時代的數學水準。德國數學史家康托說:"歷史上一個國家所算得的圓周率的準確程度,可以作為衡量這個國家當時數學發展水準的指標。"直到19世紀初,求圓周率的值應該說是數學中的頭號難題。為求得圓周率的值,人類走過了漫長而曲折的道路,它的歷史是饒有趣味的。我們可以將這一計算歷程分為幾個階段。


實驗時期


  通過實驗對 π 值進行估算,這是計算 π 的的第一階段。這種對 π 值的估算基本上都是以觀察或實驗為根據,是基於對一個圓的周長和直徑的實際測量而得出的。在古代世界,實際上長期使用 π 3這個數值。最早見於文字記載的有基督教《聖經》中的章節,其上取圓周率為3。這一段描述的事大約發生在西元前950年前後。其他如巴比倫、印度、中國等也長期使用3這個粗略而簡單實用的數值。在我國劉徽之前"圓徑一而週三"曾廣泛流傳。我國第一部《周髀算經》中,就記載有圓"週三徑一"這一結論。在我國,木工師傅有兩句從古流傳下來的口訣:叫做:"週三徑一,方五斜七",意思是說,直徑為1的圓,周長大約是3,邊長為5的正方形,對角線之長約為7。這正反映了早期人們對圓周率 π √2 這兩個無理數的粗略估計。東漢時期官方還明文規定圓周率取3為計算面積的標準。後人稱之為"古率"

  早期的人們還使用了其他的粗糙方法。如古埃及、古希臘人曾用穀粒擺在圓形上,以數粒數與方形對比的方法取得數值。或用勻重木板鋸成圓形和方形以秤量對比取值……由此,得到圓周率的稍好些的值。如古埃及人應用了約四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度,西元前六世紀,曾取 π= √10 = 3.162。在我國東、西漢之交,新朝王莽令劉歆製造量的容器――律嘉量斛。劉歆在製造標準容器的過程中就需要用到圓周率的值。為此,他大約也是通過做實驗,得到一些關於圓周率的並不劃一的近似值。現在根據銘文推算,其計算值分別取為3.15473.19923.14983.2031比徑一週三的古率已有所進步。人類的這種探索的結果,當主要估計圓田面積時,對生產沒有太大影響,但以此來製造器皿或其他計算就不合適了。


幾何法時期


  憑直觀推測或實物度量,來計算 π 值的實驗方法所得到的結果是相當粗略的。

  真正使圓周率計算建立在科學的基礎上,首先應歸功於阿基米德。他是科學地研究這一常數的第一個人,是他首先提出了一種能夠借助數學過程而不是通過測量的、能夠把 π 的值精確到任意精度的方法。由此,開創了圓周率計算的第二階段。




圓周長大於內接正四邊形而小於外切正四邊形,因此 2√2 π 4
當然,這是一個差勁透頂的例子。據說阿基米德用到了正96邊形才算出他的值域。


  阿基米德求圓周率的更精確近似值的方法,體現在他的一篇論文《圓的測定》之中。在這一書中,阿基米德第一次創用上、下界來確定 π 的近似值,他用幾何方法證明了"圓周長與圓直徑之比小於 3+(1/7) 而大於 3 + (10/71) ",他還提供了誤差的估計。重要的是,這種方法從理論上而言,能夠求得圓周率的更準確的值。到西元150年左右,希臘天文學家托勒密得出 π 3.1416,取得了自阿基米德以來的巨大進步。





割圓術。不斷地利用畢氏定理,來計算正N邊形的邊長。


  在我國,首先是由數學家劉徽得出較精確的圓周率。西元263年前後,劉徽提出著名的割圓術,得出 π 3.14,通常稱為"徽率",他指出這是不足近似值。雖然他提出割圓術的時間比阿基米德晚一些,但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術僅用內接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界,比阿基米德用內接同時又用外切正多邊形簡捷得多。另外,有人認為在割圓術中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法,以致於他將割到192邊形的幾個粗糙的近似值通過簡單的加權平均,竟然獲得具有4位有效數字的圓周率 π 3927/1250 3.1416。而這一結果,正如劉徽本人指出的,如果通過割圓計算得出這個結果,需要割到3072邊形。這種精加工方法的效果是奇妙的。這一神奇的精加工技術是割圓術中最為精彩的部分,令人遺憾的是,由於人們對它缺乏理解而被長期埋沒了。

  恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻吧。對此,《隋書·律曆志》有如下記載:"宋末,南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈,圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正數在盈朒二限之間。密率:圓徑一百一十三,圓周三百五十五。約率,圓徑七,週二十二。"

  這一記錄指出,祖沖之關於圓周率的兩大貢獻。其一是求得圓周率

    3.1415926 π 3.1415927

  其二是,得到 π 的兩個近似分數即:約率為227;密率為355113

  他算出的 π 8位元可靠數字,不但在當時是最精密的圓周率,而且保持世界記錄九百多年。以致于有數學史家提議將這一結果命名為"祖率"

  這一結果是如何獲得的呢?追根溯源,正是基於對劉徽割圓術的繼承與發展,祖沖之才能得到這一非凡的成果。因而當我們稱頌祖沖之的功績時,不要忘記他的成就的取得是因為他站在數學偉人劉徽的肩膀上的緣故。後人曾推算若要單純地通過計算圓內接多邊形邊長的話,得到這一結果,需要算到圓內接正12288邊形,才能得到這樣精確度的值。祖沖之是否還使用了其他的巧妙辦法來簡化計算呢?這已經不得而知,因為記載其研究成果的著作《綴術》早已失傳了。這在中國數學發展史上是一件極令人痛惜的事。





中國發行的祖沖之紀念郵票


  祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽:巴黎"發現宮"科學博物館的牆壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率,莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像,月球上有以祖沖之命名的環形山……

  對於祖沖之的關於圓周率的第二點貢獻,即他選用兩個簡單的分數尤其是用密率來近似地表示 π 這一點,通常人們不會太注意。然而,實際上,後者在數學上有更重要的意義。

  密率與 π 的近似程度很好,但形式上卻很簡單,並且很優美,只用到了數字135。數學史 家梁宗巨 教授驗證出:分母小於16604的一切分數中,沒有比密率更接近 π 的分數。在國外,祖沖之死後一千多年,西方人才獲得這一結果。

  可見,密率的提出是一件很不簡單的事情。人們自然要追究他是採用什麼辦法得到這一結果的呢?他是用什麼辦法把圓周率從小數表示的近似值化為近似分數的呢?這一問題歷來為數學史家所關注。由於文獻的失傳,祖沖之的求法已不為人知。後人對此進行了各種猜測。

  讓我們先看看國外歷史上的工作,希望能夠提供出一些資訊。

  1573年,德國人奧托得出這一結果。他是用阿基米德成果227與托勒密的結果377120用類似于加成法"合成"的:(377-22) / (120-7) = 355/113

  1585年,荷蘭人安托尼茲用阿基米德的方法先求得:333/106 π 377/120,用兩者作為 π 的母近似值,分子、分母各取平均,通過加成法獲得結果:3 ((15+17)/(106+120) = 355/113

  兩個雖都得出了祖沖之密率,但使用方法都為偶合,無理由可言。

  在日本,十七世紀關孝和重要著作《括要演算法》卷四中求圓周率時創立零約術,其實質就是用加成法來求近似分數的方法。他以34作為母近似值,連續加成六次得到祖沖之約率,加成一百十二次得到密率。其學生對這種按部就班的笨辦法作了改進,提出從相鄰的不足、過剩近似值就近加成的辦法,(實際上就是我們前面已經提到的加成法)這樣從34出發,六次加成到約率,第七次出現258,就近與其緊鄰的227加成,得4715,依次類推,只要加成23次就得到密率。

   錢宗琮 先生在《中國算學史》(1931年)中提出祖沖之採用了我們前面提到的由何承天首創的"調日法"或稱加權加成法。他設想了祖沖之求密率的過程:以徽率15750,約率227為母近似值,並計算加成權數x=9,於是 (157 + 22×9) / (50+7×9) = 355/113,一舉得到密率。 錢 先生說:"沖之在承天后,用其術以造密率,亦意中事耳。"

  另一種推測是:使用連分數法。

  由於求二自然數的最大公約數的更相減損術遠在《九章算術》成書時代已流行,所以借助這一工具求近似分數應該是比較自然的。於是有人提出祖沖之可能是在求得盈 二數之後,再使用這個工具,將3.14159265表示成連分數,得到其漸近分數:322733310635511310257332650…

  最後,取精確度很高但分子分母都較小的355113作為圓周率的近似值。至於上面圓周率漸近分數的具體求法,這裏略掉了。你不妨利用我們前面介紹的方法自己求求看。英 國李約瑟 博士持這一觀點。他在《中國科學技術史》卷三第19章幾何編中論祖沖之的密率說:"密率的分數是一個連分數漸近數,因此是一個非凡的成就。"

  我國再回過頭來看一下國外所取得的成果。

  1150年,印度數學家婆什迦羅第二計算出 π= 3927/1250 = 3.14161424年,中亞細亞地區的天文學家、數學家凱西著《圓周論》,計算了3×228805,306,368邊內接與外切正多邊形的周長,求出 π 值,他的結果是:

   π3.14159265358979325

  有十七位元準確數字。這是國外第一次打破祖沖之的記錄。

  16世紀的法國數學家韋達利用阿基米德的方法計算 π 近似值,用 6×216正邊形,推算出精確到9位小數的 π 值。他所採用的仍然是阿基米德的方法,但韋達卻擁有比阿基米德更先進的工具:十進位置制。17世紀初,德國人魯道夫用了幾乎一生的時間鑽研這個問題。他也將新的十進位與早的阿基米德方法結合起來,但他不是從正六邊形開始並將其邊數翻番的,他是從正方形開始的,一直推導出了有262條邊的正多邊形,約4,610,000,000,000,000,000邊形!這樣,算出小數35位。為了紀念他的這一非凡成果,在德國圓周率 π 被稱為"魯道夫數"。但是,用幾何方法求其值,計算量很大,這樣算下去,窮數學家一生也改進不了多少。到魯道夫可以說已經登峰造極,古典方法已引導數學家們走得很遠,再向前推進,必須在方法上有所突破。

  17世紀出現了數學分析,這銳利的工具使得許多初等數學束手無策的問題迎刃而解。 π 的計算歷史也隨之進入了一個新的階段。


分析法時期


  這一時期人們開始擺脫求多邊形周長的繁難計算,利用無窮級數或無窮連乘積來算 π

  1593年,韋達給出


   這一不尋常的公式是 π 的最早分析運算式。甚至在今天,這個公式的優美也會令我們讚歎不已。它表明僅僅借助數字2,通過一系列的加、乘、除和開平方就可算出 π 值。

  接著有多種運算式出現。如沃利斯1650年給出:


  1706年,梅欽建立了一個重要的公式,現以他的名字命名:


  再利用分析中的級數展開,他算到小數後100位。

  這樣的方法遠比可憐的魯道夫用大半生時間才摳出的35位小數的方法簡便得多。顯然,級數方法宣告了古典方法的過時。此後,對於圓周率的計算像馬拉松式競賽,紀錄一個接著一個:

  1844年,達塞利用公式:


  算到200位。

  19世紀以後,類似的公式不斷湧現, π 的位數也迅速增長。1873年,謝克斯利用梅欽的一系列方法,級數公式將 π 算到小數後707位。為了得到這項空前的紀錄,他花費了二十年的時間。他死後,人們將這凝聚著他畢生心血的數值,銘刻在他的墓碑上,以頌揚他頑強的意志和堅韌不拔的毅力。於是在他的墓碑上留下了他一生心血的結晶: π 的小數點後707位數值。這一驚人的結果成為此後74年的標準。此後半個世紀,人們對他的計算結果深信不疑,或者說即便懷疑也沒有辦法來檢查它是否正確。以致於在1937年巴黎博覽會發現館的天井裏,依然顯赫地刻著他求出的 π 值。

  又過了若干年,數學家弗格森對他的計算結果產生了懷疑,其疑問基於如下猜想:在 π 的數值中,儘管各數字排列沒有規律可循,但是各數碼出現的機會應該相同。當他對謝克斯的結果進行統計時,發現各數字出現次數過於參差不齊。於是懷疑有誤。他使用了當時所能找到的最先進的計算工具,從19445月到19455月,算了整整一年。1946年,弗格森發現第528位是錯的(應為4,誤為5)。謝克斯的值中足足有一百多位全都報了銷,這把可憐的謝克斯和他的十五年浪費了的光陰全部一筆勾銷了。

  對此,有人曾嘲笑他說:數學史在記錄了諸如阿基米德、費馬等人的著作之餘,也將會擠出那麼一、二行的篇幅來記述1873年前謝克斯曾把 π 計算到小數707位這件事。這樣,他也許會覺得自己的生命沒有虛度。如果確實是這樣的話,他的目的達到了。

  人們對這些在地球的各個角落裏作出不懈努力的人感到不可理解,這可能是正常的。但是,對此做出的嘲笑卻是過於殘忍了。人的能力是不同的,我們無法要求每個人都成為費馬、高斯那樣的人物。但成為不了偉大的數學家,並不意味著我們就不能為這個社會做出自己有限的貢獻。人各有其長,作為一個精力充沛的計算者,謝克斯願意獻出一生的大部分時光從事這項工作而別無報酬,並最終為世上的知識寶庫添了一小塊磚加了一個塊瓦。對此我們不應為他的不懈努力而感染並從中得到一些啟發與教育嗎?

  19481月弗格森和倫奇兩人共同發表有808位正確小數的 π 。這是人工計算 π 的最高記錄。


電腦時期


  1946年,世界第一台電腦ENIAC製造成功,標誌著人類歷史邁入了電腦時代。電腦的出現導致了計算方面的根本革命。1949年,ENIAC根據梅欽公式計算到2035(一說是2037)位小數,包括準備和整理時間在內僅用了70小時。電腦的發展一日千里,其記錄也就被頻頻打破。





ENIAC:一個時代的開始


  1973年,有人就把圓周率算到了小數點後100萬位,並將結果印成一本二百頁厚的書,可謂世界上最枯燥無味的書了。1989年突破10億大關,199510月超過64億位。1999930,《文摘報》報導,日本東京大學教授金田康正已求到2061.5843億位的小數值。如果將這些數字列印在A4大小的複印紙上,令每頁印2萬位元數字,那麼,這些紙摞起來將高達五六百米。來自最新的報導:金田康正利用一台超級電腦,計算出圓周率小數點後一兆二千四百一十一億位數,改寫了他本人兩年前創造的紀錄。據悉, 金田 教授與日立製作所的員工合作,利用目前計算能力居世界第二十六位元的超級電腦,使用新的計算方法,耗時四百多個小時,才計算出新的數位,比他一九九九年九月計算出的小數點後二千六百一十一位提高了六倍。圓周率小數點後第一百萬位元數是二,第一兆二千四百一十一億位數為五。如果一秒鐘讀一位數,大約四萬年後才能讀完。

  不過,現在打破記錄,不管推進到多少位,也不會令人感到特別的驚奇了。實際上,把 π 的數值算得過分精確,應用意義並不大。現代科技領域使用的 π 值,有十幾位已經足夠。如果用魯道夫的35位小數的 π 值計算一個能把太陽系包圍起來的圓的周長,誤差還不到質子直徑的百萬分之一。我們還可以引美國天文學家西蒙·紐克姆的話來說明這種計算的實用價值:

  "十位小數就足以使地球周界準確到 一英寸 以內,三十位小數便能使整個可見宇宙的四周準確到連最強大的顯微鏡都不能分辨的一個量。"

  那麼為什麼數學家們還象登山運動員那樣,奮力向上攀登,一直求下去而不是停止對 π 的探索呢?為什麼其小數值有如此的魅力呢?

  這其中大概免不了有人類的好奇心與領先於人的心態作怪,但除此之外,還有許多其他原因。





奔騰與圓周率之間的奇妙關係……


  1、它現在可以被人們用來測試或檢驗超級電腦的各項性能,特別是運算速度與計算過程的穩定性。這對電腦本身的改進至關重要。就在幾年前,當Intel公司推出奔騰(Pentium)時,發現它有一點小問題,這問題正是通過運行 π 的計算而找到的。這正是超高精度的 π 計算直到今天仍然有重要意義的原因之一。

  2 計算的方法和思路可以引發新的概念和思想。雖然電腦的計算速度超出任何人的想像,但畢竟還需要由數學家去編制程式,指導電腦正確運算。實際上,確切地說,當我們把 π 的計算歷史劃分出一個電子電腦時期時,這並非意味著計算方法上的改進,而只是計算工具有了一個大飛躍而已。因而如何改進計算技術,研究出更好的計算公式,使公式收斂得更快、能極快地達到較大的精確度仍是數學家們面對的一個重要課題。在這方面,本世紀印度天才數學家拉馬努揚得出了一些很好的結果。他發現了許多能夠迅速而精確地計算 π 近似值的公式。他的見解開通了更有效地計算 π 近似值的思路。現在電腦計算 π 值的公式就是由他得到的。至於這位極富傳奇色彩的數學家的故事,在這本小書中我們不想多做介紹了。不過,我希望大家能夠明白 π 的故事講述的是人類的勝利,而不是機器的勝利。

  3、還有一個關於 π 的計算的問題是:我們能否無限地繼續算下去?答案是:不行!根據朱達偌夫斯基的估計,我們最多算1077位。雖然,現在我們離這一極限還相差很遠很遠,但這畢竟是一個界限。為了不受這一界限的約束,就需要從計算理論上有新的突破。前面我們所提到的計算,不管用什麼公式都必須從頭算起,一旦前面的某一位出錯,後面的數值完全沒有意義。還記得令人遺憾的謝克斯嗎?他就是歷史上最慘痛的教訓。

  4、於是,有人想能否計算時不從頭開始,而是從半截開始呢?這一根本性的想法就是尋找平行算法公式。1996年,圓周率的平行算法公式終於找到,但這是一個16進位的公式,這樣很容易得出的1000億位的數值,只不過是16進位的。是否有10進位的平行計算公式,仍是未來數學的一大難題。

  5、作為一個無窮數列,數學家感興趣的把 π 展開到上億位,能夠提供充足的資料來驗證人們所提出的某些理論問題,可以發現許多迷人的性質。如,在 π 的十進展開中,10個數字,哪些比較稀,哪些比較密? π 的數位展開中某些數位出現的頻率會比另一些高嗎?或許它們並非完全隨意?這樣的想法並非是無聊之舉。只有那些思想敏銳的人才會問這種貌似簡單,許多人司空見慣但卻不屑發問的問題。

  6、數學家弗格森最早有過這種猜想:在 π 的數值式中各數碼出現的概率相同。正是他的這個猜想為發現和糾正向克斯計算 π 值的錯誤立下了汗馬功勞。然而,猜想並不等於現實。弗格森想驗證它,卻無能為力。後人也想驗證它,也是苦於已知的 π 值的位數太少。甚至當位數太少時,人們有理由對猜想的正確性做出懷疑。如,數字0的出現機會在開始時就非常少。前50位中只有1

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